모티브 코호몰로지

3. 다른 코호몰로지 이론과의 관계

최근에는 호모토피 이론과 K이론을 대수기하학에 적용하여, 블라디미르 보예보츠키가 대수다양체에 쓰일 수 있는 새로운 모티브 식 호모토피 이론을 모형 범주의 형태로 만들어 내었다. 이를 통해 대수다양체를 위한 모티브 코호몰로지 이론의 한 가지 모델을 만들 수 있었다.

3. 1. K-이론과의 관계

3. 2. 밀너 K-이론과의 관계

3. 3. 에탈 코호몰로지와의 관계

4. 모티프와의 관계

보예보츠키는 주어진 체 ''k''와 가환환 ''R''에 대해, '계수가 ''R''인 ''k'' 위의 모티프의 유도 범주' DM(''k''; ''R'')를 정의했다. 이 범주에서 각 스킴 ''X''는 모티프 M(''X'')와 콤팩트 지지 모티프 M^c(''X'')라는 두 객체를 결정한다. 모티프 (코)호몰로지는 이 범주 내의 사상 집합으로 나타낼 수 있다.

모티브의 유도 범주의 기본적인 점은, 네 가지 유형의 모티브 호몰로지와 모티브 코호몰로지가 모두 이 범주 내의 사상 집합으로 나타난다는 것이다. 모든 정수 ''j''에 대해 DM(''k''; ''R'')에는 '''테이트 모티브''' ''R''(''j'')가 존재하며, 사영 공간의 모티브는 테이트 모티브의 직합이다.

:$M(\backslash mathbf\{P\}^n\_k)\backslash cong\; \backslash oplus\_\{j=0\}^n\; R(j)[2j]$

여기서 ''M'' ↦ ''M''[1]은 DM(''k''; ''R'')에서 이동 또는 "변환 함자"이다. 예를 들어 모티브 코호몰로지는 다음과 같다.

:$H^i(X,R(j))\backslash cong\; \backslash text\{Hom\}\_\{DM(k;\; R)\}(M(X),R(j)[i])$

이는 유한 타입의 모든 스킴 ''X''에 대해 성립한다.

4. 1. 베일린슨의 추측

5. 수론기하학에의 응용

수론기하학에서 모티브 코호몰로지는 L-함수의 특수값과 관련된 여러 추측들을 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다.

5. 1. L-함수의 특수값

6. 역사

다니엘 퀼렌이 대수적 K-이론을 정의하고 발전시킨 연구(1973)에서, 대수적 다양체의 차우 군을 더 일반적인 모티브 코호몰로지 이론으로 확장할 수 있다는 가능성이 처음 나타났다. 1980년대 초, 벨린슨과 술레는 아담스 연산을 사용하여 유리수 계수 대수적 K-이론을 분해할 수 있음을 발견했다.^[1] 벨린슨과 리히텐바움은 모티브 코호몰로지의 존재와 성질을 예측하는 추측을 제기했는데, 이 추측의 대부분은 증명되었지만 전부는 아니다.

블로흐는 체 ''k'' 위의 준사영적 다양체에 대한 보렐-무어 모티프 호몰로지를 정수적으로 처음 정의했다(1986).^[1] 1990년대에 블라디미르 보예보츠키는 수슬린과의 공동 연구를 바탕으로 모티프 호몰로지와 모티프 코호몰로지를 정의하고, A¹-호모토피 이론의 틀 안에서 모티프의 삼각 범주를 정의했다.^[11][12]

최근에는 엘만토와 모로우,^[15] 켈리와 사이토^[16]의 연구를 통해 모티프 코호몰로지의 구성이 확장되었다.

참조

_[1] 논문 Algebraic cycles and higher K-groups; Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, section 2.2 and Proposition 4.2.9
_[2] 논문 Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, section 2.2
_[3] 논문 Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Example 13.11
_[4] 논문 Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Theorem 4.1
_[5] 논문 Levine, K-theory and motivic cohomology of schemes I, eq. (2.9) and Theorem 14.7
_[6] 논문 Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Theorem 5.1
_[7] 논문 Voevodsky, On motivic cohomology with '''Z'''/''l'' coefficients, Theorem 6.17
_[8] 논문 Jannsen, Motivic sheaves and filtrations on Chow groups, Conjecture 4.1
_[9] 논문 Hanamura, Mixed motives and algebraic cycles III, Theorem 3.4
_[10] 논문 Nori, Lectures at TIFR; Huber and Müller-Stach, On the relation between Nori motives and Kontsevich periods
_[11] 간행물 Bivariant cycle cohomology 2000
_[12] 간행물 Triangulated categories of motives over a field 2000
_[13] 간행물 Triangulated categories of motives over a field 2000
_[14] 서적 The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles 2000
_[15] 간행물 Motivic cohomology of equicharacteristic schemes 2023
_[16] 간행물 A procdh topology 2024
_[17] 논문 Algebraic cycles and higher K-groups; Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, section 2.2 and Proposition 4.2.9
_[18] 논문 Voevodsky, Triangulated categories of motives over a field, section 2.2
_[19] 논문 Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Example 13.11
_[20] 논문 Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Theorem 4.1
_[21] 논문 Levine, K-theory and motivic cohomology of schemes I, eq. (2.9) and Theorem 14.7
_[22] 논문 Mazza, Voevodsky, Weibel, Lecture Notes on Motivic Cohomology, Theorem 5.1
_[23] 논문 Voevodsky, On motivic cohomology with '''Z'''/''l'' coefficients, Theorem 6.17
_[24] 논문 Jannsen, Motivic sheaves and filtrations on Chow groups, Conjecture 4.1
_[25] 논문 Hanamura, Mixed motives and algebraic cycles III, Theorem 3.4
_[26] 논문 Nori, Lectures at TIFR; Huber and Müller-Stach, On the relation between Nori motives and Kontsevich periods